수학에서 선형성이란?

수학에서의 선형성이란? 

In mathematics, a linear map or linear function f(x) is a function that satisfies the two properties:^[1]

수학에서 선형맵(사상) 혹은 선형 함수 f (x)는 아래 두 가지 특성을 만족하는 함수다.

• Additivity: f(x + y) = f(x) + f(y). ※ 가산성
• Homogeneity of degree 1: f(αx) = α f(x) for all α. ※균등성

These properties are known as the superposition principle. In this definition, x is not necessarily a real number, but can in general be an element of any vector space. A more special definition of linear function, not coinciding with the definition of linear map, is used in elementary mathematics (see below).

이러한 성질은 '중첩 원리'로 알려져 있다. 이 정의에서, x는 반드시 실수일 필요는 없지만, 벡터 공간의 어떤 요소일 수 있다. 선형 함수와 선형 맵의 정의가 일치하지 않지만 아래처럼 기초 수학에서 사용된다.

Additivity alone implies homogeneity for rational α, since ${\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}$ implies ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ for any natural number n by mathematical induction, and then ${\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}$ implies ${\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}$. The density of the rational numbers in the reals implies that any additive continuous function is homogeneous for any real number α, and is therefore linear.

가산성은 유리수 α에 대한 동질성을 의미하는데, 이는 수학적 귀납법에 의해 임의의 자연수 n에 대해 식을 표현 할 수 있다. 실수에서 유리수의 밀도는 임의의 가산적 연속 함수가 임의의 실수 α에 대해 균등하며, 따라서 선형적임을 의미한다.

The concept of linearity can be extended to linear operators. Important examples of linear operators include the derivative considered as a differential operator, and other operators constructed from it, such as del and the Laplacian. When a differential equation can be expressed in linear form, it can generally be solved by breaking the equation up into smaller pieces, solving each of those pieces, and summing the solutions.

선형성의 개념은 선형 연산자로 확장될 수 있다. 선형 연산자의 중요한 예로는 미분 연산자로 간주되는 미분 연산자와 그것으로 구성된 델과 라플라시안 같은 다른 연산자가 있다. 미분 방정식을 선형으로 나타낼 수 있는 경우, 일반적으로 하나의 방정식을 더 작은 조각으로 쪼개서 각각의 조각들을 풀어서, 그 해를 갖고 전체 방정식을 풀 수 있다.

(cf. https://blog.naver.com/subprofessor/222101358402)

Linear algebra is the branch of mathematics concerned with the study of vectors, vector spaces (also called 'linear spaces'), linear transformations (also called 'linear maps'), and systems of linear equations.

For a description of linear and nonlinear equations, see linear equation.

선형대수학은 벡터, 벡터 공간('선형 공간'이라고도 함), 선형 변환('선형 맵'이라고도 함) 및 선형 방정식의 시스템과 관련된 수학의 한 분야이다. 선형 및 비선형 방정식에 대한 설명은 선형 방정식을 참조하라.

Linear polynomials[edit]

Main article: linear equation

In a different usage to the above definition, a polynomial of degree 1 is said to be linear, because the graph of a function of that form is a straight line.^[2]

Over the reals, a linear equation is one of the forms:

위의 정의와는 조금 다른 용도로, 1차 다항식을 선형적이라고 하는데, 그런 형태의 함수의 그래프는 직선이기 때문이다. 실수에서 선형 방정식은 다음 형식으로 나타난다.

where m is often called the slope or gradient; b the y-intercept, which gives the point of intersection between the graph of the function and the y-axis.

Note that this usage of the term linear is not the same as in the section above, because linear polynomials over the real numbers do not in general satisfy either additivity or homogeneity. In fact, they do so if and only if b = 0. Hence, if b ≠ 0, the function is often called an affine function (see in greater generality affine transformation).

여기서 m은 종종 기울기 또는 경사값이라고 불리며, b는 함수의 그래프와 y-축 사이의 교차점을 나타낸다. 실수 에서의 선형 다항식은 일반적으로 가산성이나 동질성을 만족시키지 못하기 때문에 선형이라는 용어의 사용을 하기엔 위의 언급한 내용과 같지 않다. b = 0인 경우에만 그렇다고 할 수 있을 것이다. 그렇기에 b ≤ 0이라면, 그 함수는 아핀 함수라고 부른다.

Boolean functions[edit]

Main article: Parity function

Hasse diagram of a linear Boolean function

In Boolean algebra, a linear function is a function ${\displaystyle f}$ for which there exist ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$ such that

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$, where ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}$

Note that if ${\displaystyle a_{0}=1}$, the above function is considered affine in linear algebra (i.e. not linear).

A Boolean function is linear if one of the following holds for the function's truth table:

1. In every row in which the truth value of the function is T, there are an odd number of Ts assigned to the arguments, and in every row in which the function is F there is an even number of Ts assigned to arguments. Specifically, f(F, F, ..., F) = F, and these functions correspond to linear maps over the Boolean vector space.

1. In every row in which the value of the function is T, there is an even number of Ts assigned to the arguments of the function; and in every row in which the truth value of the function is F, there are an odd number of Ts assigned to arguments. In this case, f(F, F, ..., F) = T.

Another way to express this is that each variable always makes a difference in the truth value of the operation or it never makes a difference.

Negation, Logical biconditional, exclusive or, tautology, and contradiction are linear functions.

(원문 : https://en.wikipedia.org/wiki/Linearity)